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证明平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和 证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和
发布日期： 2023-06-13 09:38:26 来源： 城市网

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1、方法一：利用余弦定理。

2、在平行四边形ABCD中，有：AB＝DC、AD＝BC、∠A＝180°－∠B，∴cosA＝－cosB。


(资料图片)

3、由余弦定理，有：AC^2＝AB^2＋BC^2－2AB×BC×cosB，······①BD^2＝AD^2＋AB^2－2AD×AB×cosA＝AD^2＋DC^2＋2BC×AB×cosA。

4、······②①＋②，得：AC^2＋BD^2＝AB^2＋BC^2＋AD^2＋DC^2。

5、方法二：利用向量点积。

6、在平行四边形ABCD中，有：向量AC＝向量AB＋向量AD，向量BD＝向量BA＋向量BC＝－向量AB＋向量AD。

7、∴｜AC｜^2＝｜AB｜^2＋｜AD｜^2＋2向量AB·向量AD，······③　｜BD｜^2＝｜AD｜^2＋｜AB｜^2－2向量AD·向量AD。

8、······④③＋④，得：｜AC｜^2＋｜BD｜^2＝｜AB｜^2＋｜AD｜^2＋｜AD｜^2＋｜AB｜^2。

9、显然有：AD＝BC、AB＝DC，∴AC^2＋BD^2＝AB^2＋BC^2＋AD^2＋DC^2。

10、方法三：利用勾股定理。

11、不失一般性，假设平行四边形ABCD中，∠A为锐角。

12、分别过A、B向DC引垂线，垂足分别为E、F。

13、容易得出：AE＝BF、ED＝FC，∴EC＝ED＋DC＝FC＋DC、DF＝DC－FC。

14、由勾股定理，有：AC^2＝AE^2＋EC^2、BD^2＝BF^2＋DF^2，两式相加，得：AC^2＋BD^2＝2BF^2＋（FC＋DC）^2＋（DC－FC）^2＝2BF^2＋2FC^2＋2DC^2。

15、再由勾股定理，有：BF^2＋FC^2＝BC^2，∴AC^2＋BD^2＝2BC^2＋2DC^2。

16、明显有：AD＝BC、AB＝DC，∴AC^2＋BD^2＝AB^2＋BC^2＋AD^2＋DC^2。

相信通过证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和这篇文章能帮到你，在和好朋友分享的时候，也欢迎感兴趣小伙伴们一起来探讨。

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